Imprimer cette page

Gammes et tempéraments

"Il y a un comma de différence entre Sol b et Fa #"
"La gamme chromatique comporte 12 demi-tons et il y a 9 commas dans un ton"

Vous avez peut-être déjà lu ce genre d'affirmations, sans trop comprendre le pourquoi du comment. Rassurez-vous, cette page va tout vous expliquer !

Lisez tout d'abord l'article sur les intervalles.

Gamme de Pythagore

Dès l'antiquité les musiciens ont eu l'idée d'utiliser la notion d'intervalle consonant pour fabriquer des gammes, c'est-à-dire des ensembles de notes servant à construire des mélodies. Le principe de la gamme de Pythagore consiste à partir d'une note de référence, et appliquer successivement l'intervalle de quinte à la note précédente. Par exemple si on part de la note Fa (disons de fréquence 1043 Hz), on obtient en montant d'une quinte une note de fréquence 1565 Hz, qu'on appelle Sol, puis un Ré (2347 Hz), puis un La (3520 Hz), puis un Mi, puis un Si. Inversement en partant du Do, on peut aussi descendre d'une quinte, et on obtient la note Fa (695 Hz). Avec cinq quintes montantes et une quinte descendante, on obtient 7 notes qui forment ce qu'on appelle la gamme diatonique majeure de Do: les fameuses notes Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si (ou C, D, E, F, G, A, B en notation anglo-saxonne).

Mais pourquoi s'arrêter à 7 notes ? On peut encore monter le Si d'une quinte, et on tombe sur une note plus aiguë qu'un Fa, mais moins qu'un Sol; par convention on appelle cette note Fa dièse (F#). Puis en continuant, on obtient les notes C#, G#, D#, A#, E#, B#. De la même façon, on peut descendre le Fa d'une quinte et on obtient une note entre La et Si, qu'on appelle Si bémol (Bb), puis Eb, Ab, Db, etc...
On peut représenter toutes ces notes sur une "spirale des quintes":

[spirale-quintes.png]

Cette représentation fait apparaître une propriété remarquable de la gamme de Pythagore: quand on applique 12 fois l'intervalle de quinte à la note Do, on obtient un Si#, qui est presque égal à un Do ! (mais 7 octaves plus haut que le Do de départ, en fait). En effet 12 quintes valent 531441/4096 (environ 129.746), qui est presque égal à 7 octaves (rapport de 128/1). C'est pourquoi on peut se permettre de ne garder que 12 notes dans la gamme de Pythagore, si on considère que B# est la même note que C, que E# est la même note que F, etc... Voilà donc pourquoi il y a 12 notes dans une octave !

Le choix des notes retenues est purement conventionnel; si on prend la note Do comme point de départ, on retiendra les notes en rouge sur la spirale des quintes ci-dessus. Si on remet les notes dans l'ordre (de la plus grave à la plus aigüe), cela donne:

Note C Db D Eb E F F# G Ab A Bb B
Intervalle Unisson Seconde mineure Ton majeur Tierce mineure Tierce majeure Quarte Triton Quinte Sixte mineure Sixte majeure Septième mineure Septième majeure
Rapport 1 256/243 9/8 32/27 81/64 4/3 729/512 3/2 128/81 27/16 16/9 243/128
Cents 0 90.22 203.91 294.13 407.82 498.04 611.73 701.96 792.18 905.87 996.09 1109.78

Comma et quinte du loup

Le processus de construction de la gamme de Pythagore est assez simple, mais comme le montre la spirale des quintes ci-dessus, il y a un problème: l'intervalle F# - Db ! En effet on a supposé que la note C# (obtenue en appliquant 12 fois l'intervalle de quinte au Db) est identique à Db, mais ce n'est qu'une approximation. En réalité il y a un intervalle de 531441/524288 (soit 23.46 cents) entre ces deux notes; on appelle cet intervalle le comma pythagoricien. Du coup, l'intervalle entre F# et Db - qui est censé être une quinte - vaut environ 1.4798 au lieu de 1.5. Cette différence est tout à fait audible et on a donné le nom de "quinte du loup" à cet intervalle qui sonne faux. Voici un exemple de quinte juste, suivie d'une quinte du loup:


La gamme de Pythagore comporte donc 11 quintes justes, et une quinte complètement fausse (qui dépend de la note de départ choisie pour la gamme). Ceci n'est pas très satisfaisant pour l'esprit, mais malheureusement il est mathématiquement impossible de construire une gamme uniquement à l'aide de quintes justes (car les nombres 2 et 3 n'ont pas de diviseur commun) donc les musiciens ont dû s'y résigner... En pratique cela ne pose pas vraiment de problème, il suffit d'éviter la quinte du loup quand on compose un morceau ! Par contre le gros inconvénient est qu'il devient difficile de transposer un morceau (c'est à dire le jouer plus grave ou plus aigu) sur un instrument accordé en gamme de Pythagore, car la quinte du loup - qui dépend de la note de départ de la gamme - risque alors de refaire son apparition !

Au passage, on peut calculer que l'intervalle de 9/8, appelé ton majeur, vaut à peu près 8.7 commas. Voilà pourquoi on dit généralement qu'il y a 9 commas dans un ton, ce qui est en réalité une approximation !

Tierce et gamme de Zarlino

La gamme de Pythagore ne reposant que sur les intervalles de quinte et d'octave, que devient alors l'intervalle de tierce (5/4) ? Cet intervalle a été délaissé jusqu'à la fin du moyen-âge, mais quand les musiciens ont commencé à vouloir l'intégrer à la musique, la gamme de Pythagore a montré ses limites... En effet il est impossible d'obtenir un intervalle de tierce au moyen de quintes (car les nombres 3 et 5 n'ont pas de diviseur commun), mais on peut s'en approcher. Par exemple entre les notes Do et Mi il y a, dans la gamme de Pythagore un intervalle de 4 quintes, soit 81/64 (environ 1.27). On obtient presque un rapport de tierce (1.25), à une erreur près appelée comma syntonique. Ce comma vaut 324/320, soit 21.5 cents (c'est-à-dire pratiquement la même valeur que le comma pythagoricien !)

Pour résoudre ce problème, Zarlino a inventé au XVIe siècle une gamme qui fait intervenir naturellement le rapport de tierce. Voici les intervalles dans la gamme de Zarlino (en Do):

Note C Db D Eb E F F# G Ab A Bb B
Intervalle Unisson Seconde mineure Ton majeur Tierce mineure Tierce majeure Quarte Triton Quinte Sixte mineure Sixte majeure Septième mineure Septième majeure
Rapport 1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8
Cents 0 111.73 203.91 315.64 386.31 498.04 590.22 701.96 813.69 884.36 1017.60 1088.27

On voit au premier coup d'oeil que les intervalles sont plus simples dans cette gamme que dans celle de Pythagore (les nombres intervenant dans les fractions sont plus petits). C'est la raison pour laquelle on dit que la gamme de Zarlino est une gamme naturelle, car elle contient des intervalles très consonants avec la note de départ de la gamme (la tonique).

Gamme tempérée

Au-delà des gammes de Pythagore et de Zarlino, il y a eu dans l'Histoire de nombreuses tentatives de constructions de gammes comportant le plus possible de quintes et tierces justes, mais toutes ont l'inconvénient de favoriser certains tonalités, en fonction de la note de départ choisie pour la gamme. Ceci limite la possibilité de modulation, c'est-à-dire de changement de tonalité au cours d'un morceau, sur les instruments tels que le piano dont les intervalles sont fixés (il paraît difficile de ré-accorder un piano en cours de morceau !).

Une solution radicale à tous ces problèmes théoriques a été trouvée au XVIIe siècle: c'est la gamme tempérée (ou à tempérament égal). Cette gamme consiste à diviser l'octave en 12 intervalles égaux, appelés demi-tons. Cet intervalle vaut 21/12 (environ 1.05946) soit exactement 100 cents (bien sûr la définition du cent n'est pas due au hasard... un cent vaut un centième de demi-ton). Dans la gamme tempérée, 7 demi-tons valent environ 1.4983, soit pratiquement une quinte juste, avec une erreur très faible et inaudible (moins de 2 cents) ! Un intervalle de 4 demi-tons vaut 1.26, soit presque une tierce juste, à une erreur près de 14 cents. Cette erreur n'est pas négligeable, mais reste plus faible que le comma syntonique et passe la plupart du temps inaperçue car nous y sommes habitués. Pour comparer, voici une tierce juste puis une tierce "tempérée":

Comme tous les intervalles entre notes successives sont égaux dans la gamme tempérée, aucune tonalité n'est privilégiée puisqu'on obtient les mêmes notes quelque soit la note de départ. Les possibilités de transposition et modulation sont donc illimitées ! Le prix à payer pour cette souplesse d'utilisation est que plus aucun intervalle n'est réellement juste dans cette gamme, car le comma pythagoricien est divisé en 12 et réparti sur chaque intervalle, au lieu d'être concentré sur la quinte du loup. La gamme tempérée s'est aujourd'hui largement imposée dans la musique occidentale.

Voici les intervalles de la gamme tempérée. Contrairement aux gammes précédentes, le choix de la note de départ n'a plus d'importance, et des notes telles que F# et Gb sont identiques, alors qu'elles étaient séparées par un comma dans la gamme de Pythagore:

Note C Db D Eb E F F# G Ab A Bb B
Intervalle Unisson Seconde mineure Ton majeur Tierce mineure Tierce majeure Quarte Triton Quinte Sixte mineure Sixte majeure Septième mineure Septième majeure
Rapport 1 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 27/12 28/12 29/12 210/12 211/12
Cents 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

Previous page: Intervalles
Next page: Théorie des accords