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Intervalles

Qu'est ce qu'une note ?

Cette question peut sembler surprenante... tout le monde sait que la musique se joue avec des notes ! "Do", "Ré", "Mi", etc... Mais la réponse n'est en fait pas si simple; qu'appelle-t-on la note "Do" exactement ? Un "Do" peut-être grave ou aigu, joué sur un violon ou sur un piano, être long ou bref, et pourtant on lui donne toujours le même nom, alors que dans tous ces cas le son produit peut être très différent !
La notion de note est finalement assez subjective... on peut dire qu'une note désigne un ensemble de sons qui sont considérés comme identiques par l'oreille humaine (un mathématicien dirait une "classe d'équivalence").

Une note de musique est caractérisée par sa hauteur et sa durée (laissons de côté la durée pour le moment...). La hauteur d'une note indique si le son perçu est plus ou moins grave ou aigu. D'un point de vue physique, cette hauteur correspond à ce qu'on appelle la fréquence fondamentale du son, qui s'exprime en Hertz (Hz). Plus la fréquence (fondamentale) du son est élevée, plus le son est aigu. Par exemple la note appelée "La 3" a une fréquence fondamentale de 440 Hz (c'est uniquement une convention; cette valeur peut en réalité être légèrement différente).

Consonance et dissonance

Jouer de la musique, c'est essentiellement jouer des notes les unes à la suite des autres; cette succession de notes est ce qu'on appelle une mélodie. Mais on peut aussi jouer des notes simultanément, on parle dans ce cas d'accords. Dans tous les cas, le choix des notes utilisées doit obéir à certaines règles, pour éviter de faire souffrir les auditeurs et les obliger à quitter la pièce ! Parmi ces règles, on trouve le principe de la consonance et de la dissonance.

Au fond le principe est simple: on parle de consonance quand deux notes (ou plus) sont agréables à entendre simultanément, et de dissonance quand le résultat est désagréable. Et voilà encore une fois une définition très subjective ! Mais il faut faire appel à la physique pour mieux comprendre...

Pour simplifier, disons qu'un son musical est une onde sonore périodique, un peu comme les vagues qui se forment quand on jette une pierre dans un lac; la seule différence est que dans le cas du son, l'onde ne fait pas varier la hauteur de l'eau mais la pression de l'air. Comme cette onde est périodique, elle est caractérisée par sa fréquence fondamentale f, qui est en quelque sorte la vitesse de la vibration de l'air produite par le son (un son à 440 Hz fait "vibrer" l'air 440 fois par seconde).

Les mathématiques montrent qu'une onde périodique quelconque peut toujours être décomposée en somme d'ondes "pures" (sinusoïdales) que l'on appelle des harmoniques. Un exemple d'onde sinusoïdale est la tonalité (un "La") qu'on entend quand on décroche son téléphone; il n'y a qu'une seule harmonique:


Le son produit par un instrument de musique est en général beaucoup plus complexe; plus le son est complexe (c'est-à-dire différent d'un simple son sinusoïdal), plus il y a d'harmoniques différentes qui le composent. Les harmoniques déterminent le timbre d'un instrument, c'est-à-dire ce qui permet de le différencier d'un autre instrument. Un son est donc la somme de différentes harmoniques, chacune caractérisée par son intensité et sa fréquence. Voici par exemple un autre "La", constitué cette fois de 7 harmoniques différentes:

Un résultat extrêmement important que montrent les mathématiques est le suivant:

la fréquence des harmoniques est un multiple entier de la fréquence fondamentale.

Autrement dit, si un son a une fréquence fondamentale f, les harmoniques qui le composent auront pour fréquence f, 2f, 3f, 4f, etc... Ce résultat est ... fondamental pour la suite; il est important de bien le comprendre ! Par exemple un "La" de fréquence fondamentale 440 Hz contiendra des harmoniques à 440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz, 2200 Hz, etc... Il faut noter que l'oreille humaine est insensible aux fréquences élevées (supérieures à 15 ou 20 kHz, suivant l'âge de la personne), donc seul un certain nombre d'harmoniques est audible, les suivantes sont trop aiguës.

Mais qu'est-ce que tout ça a à voir avec la consonance ? Et bien il se trouve que l'oreille fonctionne justement en décomposant le son en harmoniques, et c'est le cerveau qui reconstitue le son complet à partir des harmoniques. C'est pourquoi deux sons dont les harmoniques sont similaires vont paraître semblables à l'oreille. Au contraire le mélange de plusieurs sons dont les harmoniques sont différentes est désagréable; le son paraît instable. Ceci est dû (au moins en partie) au phénomène dit de battement qui apparait quand les harmoniques des différents sons ne superposent pas, et est une sorte de vibration parasite désagréable à entendre:

La recherche de la consonance revient donc à trouver des sons dont les harmoniques sont identiques, ou en tout cas le plus possible. C'est là que le résultat précédent intervient: supposons que l'on mélange un son de fréquence fondamentale f1, et un autre de fréquence f2; leurs harmoniques seront donc de fréquence n * f1 pour le premier son, et p * f2 pour le second, où n et p sont des nombres entiers. On peut donc en déduire le résultat suivant, qui est aussi fondamental:

Deux sons de fréquence fondamentale f1 et f2 sont consonants si le rapport f1/f2 est un nombre rationnel (une fraction de nombres entiers).

Dans ce cas on peut écrire le rapport f1/f2 sont la forme d'une fraction irréductible p/q avec p et q entiers. Un peu d'arithmétique montre que plus les nombres p et q sont petits, plus les deux sons ont d'harmoniques en commun, et donc plus ils sont consonants. Ce résultat est connu depuis des siècles, et est à la base de tout ce qui va suivre.

Intervalles

En musique on appelle intervalle la différence de hauteur entre deux notes. Cette différence est en fait le rapport de la fréquence (fondamentale) de ces deux notes. Comme on l'a vu plus haut, si on veut que deux notes soient consonantes entre elles, il faut que l'intervalle qui les sépare soit le plus simple possible.

L'intervalle le plus simple, appelé unisson est... 1/1 tout simplement ! Autrement dit les notes ont la même fréquence, donc sont identiques à l'oreille (ce qui ne veut pas dire que les sons sont identiques; ces notes à l'unisson peuvent être jouées sur des instruments différents ou chantées par différentes personnes).

L'unisson est l'intervalle le plus simple, mais il n'est très pas intéressant de faire de la musique avec une seule note ! L'autre intervalle qui apparaît naturellement est 2/1, et est appelé octave. Voici deux sons séparés par une octave, joués l'un après l'autre puis simultanément (220 Hz et 440 Hz):

Cet intervalle, qui revient à multiplier la fréquence par 2, est celui qui permet d'obtenir le plus d'harmoniques communes entre les deux notes, qui sont tellement semblables à l'oreille qu'on leur donne le même nom. Par exemple si on appelle "La" la note qui représente un son de fréquence 440 Hz, on donnera aussi ce nom aux notes de fréquence 880 Hz, 1760 Hz, ou 220 Hz (sur le même principe, on peut aussi diviser la fréquence par 2).
L'octave sert donc d'intervalle de référence, ce qui permet de ne s'intéresser qu'aux intervalles compris entre 1 et 2 (on peut toujours s'y ramener avec des multiplications ou divisions par 2; par exemple l'intervalle 5/4 est identique à l'intervalle 5/2, à une octave près).

Après l'octave, l'intervalle le plus simple qu'on puisse trouver est celui de 3/2, appelé quinte:

La quinte est un intervalle très consonant (beaucoup d'harmoniques communes) et joue un rôle particulier dans la construction des gammes, comme on va le voir plus loin.

Partons maintenant d'une note de référence, le "La 2", de fréquence 220 Hz. Grâce à l'intervalle de quinte, on obtient une note de fréquence 330 Hz, qu'on va appeler "Mi 3". Si on monte le "La 2" d'une octave on obtient une note à 440 Hz, qui est toujours un "La" mais qu'on appelle "La 3" pour montrer qu'il est une octave plus aigu que le "La 2". De même on peut construire un "Mi 4" à 660 Hz, puis un "La 4" à 880 Hz, un "Mi 5" à 1320 Hz, etc... On construit ainsi une gamme ditonique (à 2 notes; à ne pas confondre avec "diatonique"), c'est déjà un bon début !

Au passage, cette gamme fait apparaître un nouvel intervalle valant 4/3 (intervalle entre "Mi 3" et "La 3" par exemple), appelé quarte. Cet intervalle est en fait l'inverse de la quinte, car 2/3 est l'inverse de 3/2 (et on a vu que 4/3 et 2/3 correspondent au même intervalle, à une octave près). Les rapports de quinte et de quarte sont donc complémentaires: leur addition forme une octave (car 3/2 * 4/3 = 2). Ou dit autrement, descendre d'une quinte revient à monter d'une quarte, et vice-versa.

Citons pour finir l'intervalle de 5/4, appelé tierce. Cet intervalle est moins consonant que les précédents, et il a d'ailleurs fallu attendre la fin du moyen-âge pour qu'il commence à être accepté par les musiciens:

Pour mesurer les intervalles, on utilise fréquemment comme unité le cent. Pour plus de commodité, cette unité est logarithmique (en base 2), autrement dit ajouter des cents revient à multiplier la fréquence par une certaine valeur. Par définition il y a 1200 cents dans une octave; l'intervalle entre deux notes de fréquence f1 et f2 vaut donc 1200 * ln(f2/f1) / ln(2).


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